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Savita

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从费马大定理看数学  

2017-08-30 13:50:36|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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   数学文化期末论文

   摘要:本文的题目为《从费马大定理看数学》,主要以费马大定理为主线,通过古今数学家对费马大定理的钻研与解决,引出中西方数学文化的差异,以及西方数学从古希腊时期至今的发展历程。最后,通过总结以上提到的数学家经历以及费马大定理这样的高端数学发展史,发现数学之美与数学独特的魅力,得出结论:1、数学是一个广阔而博爱的领域。2、数学的发展是不断积累而成的。3、学习数学需要强烈的兴趣。
   关键词:数学 费马大定理 中国数学 西方数学 探究 兴趣
   主题:数学与数学之美
   参考文献:《费马大定理》《九章算术》《古今数学思想》

正文:
    数学无处不在,它对于人类生活的影响是巨大的。千百年来,人类生活中数学的不断发展,使得人类的数学成为一段波澜壮阔的历史,而这历史中,又藏着上天想要告诉我们的真谛。数学巨大的魅力与美吸引着一代又一代数学天才前赴后继地把生命献给它。
    我曾看过一本书叫做《费马大定理》,这本书以数学界中的尖端领域---费马大定理的发展过程为核心,讲述了一段勾人心弦的数学史。虽然比起整个数学史来说,费马大定理的发展历程不过是沧海一粟,但它还是让我受益匪浅。(注明:以下讲述的故事主线引用自[英]西蒙·辛格《费马大定理》)
一、从费马大定理看中西数学文化差异
    首先,费马大定理与一个著名公式有很大的关系:a?+b?=c?,这就是大多数人熟知的勾股定理。在中国的数学史上,发现勾股定理是在商朝的时候。
       1、中国数学讲究实用
    在中国古代前期,中国人拥有许多超前的发现和发明,但是到后来,很少有东西能够发展起来。就比如中国的数学,从严格的意义上来说,应该不叫数学,而应该叫算学。在中国,算学的出现和发展应该都是比较早的,比如中国古代的一些算学著作《周髀算经》《九章算术》等等,但是中国的数学始终难以在世界上取得较高的地位。为什么呢?因为中国古代的算学讲究的都是实用,算学大多应用在方田、粟米、均输、商功、筑房等农业、手工业方面,中国人的数学,只要知道运用在实际生活就可以了,很少去钻牛角尖,去想一个结论为什么会这样。
        2、西方数学讲究钻研
   但是西方数学就不同了,西方数学在发现一个规律之后,还特别喜欢去证明它为什么会这样。比如著名的四色问题和七桥问题,西方人就想去研究为什么会是这样的结论。包括在西方数学史中,古希腊有个毕达哥拉斯定理,其实就是中国的勾股定理,但是毕达哥拉斯定理的重点是如何证实a?+b?=c?这个结论。
   西方数学的研究更像一场头脑风暴,而古希腊的毕达哥拉斯学派是一种像宗教的组织,它认为"万物皆数",认为上帝是用数字来统治世界的。因此他们就喜欢一边在数学问题上进行头脑比拼,一边赞叹上帝的万能。
       3、中国数学对世界影响较小
    因此中国数学与世界主流数学的目的是不同的,这就使得中国古代数学很难融入世界主流数学。在1972年,美国数学家菲利克斯·克莱因在他的作品序言中说:有一些民族的数学对于人类数学是贡献不大的,比如中国数学、日本数学和玛雅数学,因此本书中不提及这几个民族的数学(注明:引自[美]菲利克斯·克莱因《古今数学思想》)。这也说明了中国数学对世界数学的影响较小。
二、证明费马大定理的艰辛道路
        1、第一次数学危机
    与费马大定理有关的还有人类历史上第一次数学危机。因为古希腊毕达哥拉斯学派认为世界是由整数构成的,即使有小数,也是由整数乘除得到的,因为世界的根源仍是整数。但是有一天当毕达哥拉斯对他的门徒们讲解a?+b?=c?这个公式时,他的学生希帕索斯突然提出:1的平方加上1的平方是几的平方呢?这个数字就是我们今天的根号2,但是当时的毕达哥拉斯在计算这个数字的时候发现这个数没有尽头也没有规律,因此他所认为的世界是由整数构成的理论受到了学生希帕索斯的质疑,他无法接受这样的颠覆,因此他让学派门人把希帕索斯投入河中溺死了。
          2、天才费马提出的难题
    到了十七世纪的法国,一个伟大的业余数学家皮埃尔·德·费马出生了,他的本职工作其实是法官,但是他对数学却有着狂热的兴趣,他在空闲时间里经常研究数学。当他看到两千多年前的毕达哥拉斯定理a?+b?=c?的公式时,他突然发现了一个规律,于是他就在一本书的边角上写下:一个数的立方以上加上另一个数的立方以上(同次方)不可能等于任何一个整数的立方以上。他还写道:我想到一个很简洁的方法可以很优美地证明这个规律,但是这里空间太小了,我写不下。后来的费马终其一生都没有留下如何证明这个规律的方法,只在另一份手稿中写过证明4次方的情况下该规律成立的过程。于是,费马大定理就此诞生了,而且难倒了人类整整三百多年。
        3、前赴后继的后来人
    在费马之后的许多数学家都力图证明费马大定理,1706年数学家欧拉证明了费马大定理在3次方的情况下是成立的,到了十九世纪,人们证明了五次方、七次方。在十九世纪中期,曾出现过一束最亮的希望曙光,法国的女数学家热尔曼曾提出一个证明费马大定理的新思路,但是后来的人试图证明时还是失败了,而当时另一个数学家库默尔则证明出:用当时的工具无法证明费马大定理。
    就这样,几百年来热爱数学的人们前赴后继,奖励证明费马大定理的基金也设立了不少(比如德国企业人沃尔夫斯凯尔设立的费马大定理基金),到了1955年,人们已经证明到了费马大定理在4002次方情况下是成立的,到了1985年,通过计算机技术,已经可以证明在4100万次方以下的整数中,费马大定理都成立。但是这些证明都不能完全地证明费马大定理,因为如果一旦找到一个更大的数字使得费马大定理不成立,那么之前的一些证明将全部推翻。
三、费马大定理的解决
     终于到了20世纪末期,这个三百多年的人类难题总算是解决了。解决它的人叫安德鲁·怀尔斯,一个生活在美国的英国人,是美国普林斯顿大学的数学系教授。他在十岁的时候就试图研究过费马大定理,但是失败了。不过这让他对数学产生了浓厚兴趣,从而使他长大后成为了数学领域的一份子。但他研究的是椭圆曲线领域,在数学上与费马大定理完全是两个不同的分支。作为一个外行,他的灵感来源于前人的铺垫。
         1、铺垫
    首先是19世纪的法国人伽罗瓦,他在死前留下了一份手稿,里面记录了一些他脑中尚为雏形的一些混乱的数学想法,而这些想法后来被人发现整理,就形成了数学界一个重要的理论支派,叫做"群论",意思是解决问题时不要单个解决也不要一股脑儿的解决,而是要像多米诺骨牌一样一个一个地推导下去。
    其次是二战后的两个日本数学家谷山丰、志村五郎,他们两个提出了"模形式"猜想,认为数学中两个不同领域存在着一一对应关系,比如代数与几何就是这样,像毕达哥拉斯定理的公式a?+b?=c?既是一个代数式,同时也代表着直角三角形三条边的几何图案。
    这两个前人的理论给怀尔斯提供了全新的思路。他发现可以通过模形式,使费马大定理与他所擅长的椭圆曲线一一对应,转化为他能研究的领域问题,再通过群论的方式,一点一点地推导回去。怀尔斯知道,一个巨大的机会摆在他面前,如果成功了,这将是人类数学史上一个伟大的里程碑,而他也将成为20世纪最伟大的数学家。
          2、钻研
    于是他决定要单独研究费马大定理,且决不向外走漏半点风声。他花了18个月复习了椭圆曲线与模形式的所有理论,然后用七年时间钻研费马大定理。终于在1993年的一次演讲上,他宣布他解开了费马大定理。
          3、挫折
    整个数学界顿时炸了,欧洲专门成立了委员会,由六个顶尖数学家对怀尔斯进行死缠烂打式的追问验证。在第八个月的时候,一个验证过程中的小错误被发现了,而且越放越大,怀尔斯面临多年成果与巨大荣耀即将扫地的困境,几近崩溃,但是他对数学的极度热爱和执着使他坚持了下来。他想起了之前曾经研究过又放下的一个思路,而这个思路不仅可以修正之前的错误,而且可以使证明过程变得更加简单美妙。当他意识到这一点时,他流下了激动狂喜的泪水。
         4、成功
    最终,在1995年,怀尔斯完全证明了费马大定理,他把他的研究成果作为一份生日礼物送给他挚爱的妻子。而怀尔斯自己也成为驰名世界的大数学家。
四、费马大定理给我的启示
    通过阅读《费马大定理》,我了解了一部分人类数学史,深刻体会到了数学之美与数学的魅力。
    1、数学是一个独立于人类而存在的真理体系,它不像文学、艺术、农业、工业那样产生于人的意志。在自然产生之后,它就永恒地存在,仿佛真的是上帝创造的;并且一就是一,二就是二,一个数学真理永远无法被挑战和反驳。即使你像毕达哥拉斯一样消灭了质疑谬误的肉体,你也无法阻止数学真理的存在。
    2、数学可以成为人类全身心的托付,可以成为人类的信仰,古往今来,它的魅力吸引着许多充满智慧的人们奉献出他们的一生。
    3、数学是一个可以接受众生的领域,它不需要借助其他任何工具,只需要一个睿智的头脑,人们无法阻止贫穷的人、低贱的人、女性和孩子去展现他们的才华,数学是一个博爱的领域。
    4、费马大定理的证明过程完美地诠释了人类顶级问题解决的特点:首先它往往是由历代千千万万的先人铺就了台阶,只为了后来灵光乍现发现真理的人那一次质的飞跃。其次,一个领域的伟大成就不一定是由这个领域的专业人士取得的,往往是外行歪打着,这说明人类许多尖端领域其实是互通的。
    5、最后,我还明白了,人类在知识领域上创造的丰碑,通常都是因为有强烈的兴趣,而不是强烈的功利心和目的性。如果一个人光有目标而缺乏兴趣,那这个人还是难以有成就的。
   我们当今社会学习数学的目标很明确,那就是为了应试,为了考大学。由于这样的目标太过于硬性,所以单一的知识传授和题海战术取代了数学探究。没有了探索的快乐,使得孩子们对数学完全失去了兴趣,无法体会到数学的魅力。我也是其中之一,我明知道数学拥有巨大的魅力,但我却很难亲自体会到。因此,兴趣是最好的老师,如果我们希望人类社会得到发展与进步,那我们就要保护好人类探索的兴趣!                   


                                                                                                                                                                                 2017.05
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